Timme 在 2006-4-5 22:46:48 发表的内容
数学的严谨性已被哥德尔不完全定理否决 |
既然Timme朋友提到Gödel's Theorem，那我们不妨来看看它具体是什么。
事实上歌德尔不完全定理是有两个的：
歌德尔第一定理：任何一个兼容的数学形式化理论中，只要它强到足以在其中定义自然数的概念，就可以在其中构造在体系中既不能证明也不能否证的命题。
歌德尔第二定理：任何兼容的形式体系不能用于证明它本身的兼容性。
上述的描述可能很枯燥，这里解释一下它们意味着什么。
歌德尔第一定理只是说我们采用的自然数数学系统里，包含了既不能证明为真也不能证明为假的命题。
但这绝对不是说数学是不严谨的。什么才叫做不严谨？——假如你用我们的数学系统里的逻辑推理，推出一样东西是对的；但同时你又可以用逻辑推理，推出这样东西也是错的，那这才是叫做不严谨。
证明不了一样东西肯定是对的或者肯定是错的，这不叫不严谨。为什么呢？本身我们日常生活里就有很多这样的例子。比如说凶杀案，假如某个凶杀案，案发现场只有犯罪者和被害者两个人，无其它生物；并且被害者没在犯罪者身上留下任何痕迹，犯罪者也没有在案发现场留下任何痕迹。那假如我们怀疑某个人A是罪犯，那我们也没办法完全肯定是A干的，也没办法完全肯定不是A干的，因为没有其他人看到，并且现场也没有其他任何痕迹——这就是一个通俗的“不能证明为真也不能证明为假的命题”的形象例子。大家请看，这难道是“不严谨”么？——当然不是了。
真正有点意思的是歌德尔第二定理，它意味着假如你建立了一套公理系统，并且你用公理系统里的逻辑能证明这个系统内永远不会出现“一样东西同时是对的也是错的”（也就是上述的“不严谨”），那这个公理系统必然是不严谨的。
但这也无法说明数学是不严谨的——因为歌德尔第二定理的前提条件是对于一个封闭的公理系统来说的。我们完全可以构造一个例子，避开歌德尔第二定理的前提，比如说：
将关于自然数的所有语句首先按长度然后按字典顺序排序，并从皮亚诺公理集开始，一个一个遍历列表，如果发现一条语句既不能证明又不能否证，就将它作为公理加入。这样得到的系统是完备的，兼容的，并且是足够强大的，但不是递归可枚举的。
歌德尔第二定理其实也意味着：我们不能确定一个数学系统的“严谨性”，换句话说：说我们不能证明数学系统是不严谨的，但同时我们也不能保证数学系统是严谨的。
所以，在含有无穷多公理的数学系统里，你绝对找不出一个例子能说明数学系统是不严谨的——因为不存在决定任何一条语句是否公理的有效算法。从另一方面说，这个算法的不存在正是哥德尔定理的直接结果。
总之，Timme朋友尽可以去找当前数学公理系统的漏洞，假如您真找到了不可修补的漏洞的话，那您立刻可得到世界上所有的荣誉——只不过歌德尔定理否定了这种可能性而已。
